Chapitre 2 - Limites de fonctions
- Interpréter graphiquement les limites d'une fonction
- Déterminer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions
- Déterminer la limite d'une composée de deux fonctions
- Déterminer des limites par majoration, minoration ou encadrement
Les fonctions n'ont pas forcément un "point de départ", et peuvent "s'échapper" ailleurs qu'en \(+\infty\). Ce chapitre s'intéresse aux limites, ces parties des courbes qui nous échappaient jusqu'ici. Si les calculs de valeurs classiques ne fonctionnent plus vraiment, il y a pourtant un nombre de cas assez limités et des mathématiciens ont étudié leurs fonctionnements.
en \(+\infty\) |
en \(+\infty\) et en \(-\infty\) |
en une valeur interdite |
limite finie |
plusieurs cas à la fois...
ILimite à l'infini
1Limite finie en \(+\infty\) - asymptote horizontale
On dit qu'une fonction \(f (x)\) a pour limite \(\mathcal{l}\in \mathbb{R}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), si tout intervalle \(I\) ouvert (aussi petit que l'on souhaite) contenant \(\mathcal{l}\) contient aussi toutes les valeurs \(f (x)\) pour \(x\) à partir d'un certain seuil \(A\) (c'est à dire \(x\in[A;+\infty[\)). On note : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = \mathcal{l} $$
On dit aussi que \(f (x)\) tend vers \(\mathcal{l}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)
Si \(f\) admet une limite finie \(\mathcal{l}\) en \(+\infty\) (ou en \(-\infty\)), alors la courbe présentera l'allure d'une des courbes ci-dessous :
On dira que la droite horizontale d'équation \(y=\mathcal{l}\) est une asymptote horizontale à la courbe \(C_f\).
|
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = \mathcal{l}\) |
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f (x) = \mathcal{l}\) |
Les fonctions définies par \(f (x)=\frac{1}{x}\), \(g (x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\), \(h (x)=\frac{1}{x^2}\) admettent la même asymptote horizontale d'équation \(y=0\) (l'axe des abscisse) car :
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = 0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g (x) = 0\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} h (x) = 0\)
\(f (x) = \frac{1}{x}\) |
\(f (x) = \frac{1}{x^2}\) |
\(f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) |
2Limite infinie - branche infinie
On dit qu'une fonction \(f\) a pour limite \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), si tout intervalle ouvert de la forme \(]A;+\infty[\) contient aussi toutes les valeurs \(f (x)\) pour \(x\) à partir d'un certain seuil \(A\) (c'est à dire \(x\in[A;+\infty[\)). On note : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = +\infty $$
On peut définir de manière analogue les autres limites infinies en \(\pm\infty\):
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = -\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f (x) = +\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f (x) = -\infty\)
Soient les fonctions définies par \(f (x)=x^2\), \(g (x)=x^3\), \(h (x) = \sqrt{x}\) :
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2 = +\infty\) (parfois noté \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{\pm\infty}} x^2 = +\infty\))
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^3 = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^3 = -\infty\)
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
\(f (x) = \frac{1}{x}\) |
\(f (x) = \frac{1}{x^2}\) |
\(f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) |
IILimites infinies en un réel \(a\)
On dit qu'une fonction \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(a\) dans tout intervalle \(]A;+\infty[\) on trouve toutes les valeurs \(f (x)\) pour tous les réels \(x\) dans un petit intervalle \(]a-\epsilon;a+\epsilon[\) autour de \(a\). On note : $$ \lim\limits_{x \rightarrow a} = +\infty $$
On définit de même \(\lim\limits_{x \rightarrow a} = +\infty\) en remplaçant dans la définition par l'intervalle \(]-\infty;A[\)
On dira que la droite verticale d'équation \(x=a\) est une asymptote verticale à la courbe \(C_f\).
Attention, il peut y avoir deux limites infinies différentes (\(+\infty\) ou \(-\infty\) ) en un réel \(a\) : une à droite et une à gauche.
limites différentes à gauche et à droite |
mêmes limites à gauche et à droite |
La fonction inverse définie par \(f (x) = \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) a cette particularité d'avoir deux limites différentes en \(0\) selon que \(x\) soit positif ou négatif :
limites différentes à gauche et à droite de \(\color{blue}{x=0}\)
On note :
- Limite à droite : \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{0^+}} = \frac{1}{x} = +\infty\)
- Limite à gauche : \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{0^-}} = \frac{1}{x} = -\infty\)
La fonction définie par \(f (x) = \frac{1}{x^2}\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)
Ici, la limite à droite et à gauche était la même, il n'y avait donc pas besoin de préciser : $$ \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f (x) = \lim\limits_{x \rightarrow 0^- } f (x) = \lim\limits_{x \rightarrow 0} f (x) = +\infty $$
Mêmes limites à gauche et à droite de \(\color{blue}{x=0}\)
Nous n'avons pas traité le cas d'une limite finie en un réel \(a\), c.à.d. \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f (x) = \mathcal{l} \), car ce cas n'est tout simplement pas intéressant
Voyons sur un exemple : quelle est la limite de \(f (x)=x^2\) quand \(x\) tend vers 3 ? La réponse est simplement \(f (3)=3^2=9\)
C'est un cas trivial des limites des fonctions qui ne se présentera que rarement.
IIIOpérations sur les limites
ASomme de limites
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions ayant une limite (finie ou infinie) (en l'infini ou en une même valeur finie). Alors la limite éventuelle de la fonction somme définie par \( h (x) = f (x) + g (x) \) est donnée par le tableau suivant : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{ll} & \hspace{-1em}\lim f (x) \\ \lim g (x) & \end{array} & \mathcal{l} & +\infty & -\infty \\ \hline \mathcal{l}' & \mathcal{l} + \mathcal{l}' & +\infty & -\infty \\ \hline +\infty & +\infty & +\infty & ? \\ \hline -\infty & -\infty & ? & -\infty \\ \hline \end{array} $$
Il n'y a pas de règle pour les formes indéterminées. Tout est possible : il peut y avoir une limite finie ou infinie, ou bien aucune limite (voir la partie D ci-dessous pour des exemples).
BProduit de limites
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions ayant une limite (finie ou infinie) (en l'infini ou en une même valeur finie). Alors la limite éventuelle de la fonction produit définie par \( h (x) = f (x) \times g (x) \) est donnée par le tableau suivant :
| \( \begin{array}{ll} & \hspace{-1em}\lim f (x) \\ \lim g (x) & \end{array} \) | \( \mathcal{l} \gt 0 \) | \( \mathcal{l} \lt 0 \) | \( \mathcal{l} = 0 \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) |
| \( \mathcal{l}' \gt 0 \) | \( \mathcal{l} \times \mathcal{l}' \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | ||
| \( \mathcal{l}' \lt 0 \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | |||
| \( \mathcal{l}'=0 \) | \( ? \) | \( ? \) | |||
| \( +\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( ? \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) |
| \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( ? \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) |
CQuotient de limites
Soient \(f\) et \(g\) (ne s'annulant pas) deux fonctions ayant une limite (finie ou infinie) (en l'infini ou en une même valeur finie). Alors la limite éventuelle de la fonction quotient définie par \( h (x) = \frac{f (x)}{g (x)} \) est donnée par le tableau suivant :
| \( \begin{array}{ll} & \hspace{-1em}\lim f (x) \\ \lim g (x) & \end{array} \) | \( \mathcal{l} \gt 0 \) | \( \mathcal{l} \lt 0 \) | \( \mathcal{l} = 0 \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) |
| \( \mathcal{l}' \gt 0 \) | \( \frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}'} \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | |
| \( \mathcal{l}' \lt 0 \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | ||
| \( \mathcal{l}'=0^+ \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) |
| \( \mathcal{l}'=0^- \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | |
| \( +\infty \) | \( 0^+ \) | \( 0^- \) | \( 0 \) | \( ? \) | |
| \( -\infty \) | \( 0^- \) | \( 0^+ \) | \( 0 \) | ||
DFormes indéterminées
Pour résoudre des formes indéterminées, il faudra souvent passer par une astuce de calcul.
La fonction définie par \(f (x) = x^2 - x \) présente une forme indéterminée en \(+\infty\) (\( +\infty - \infty\)). Elle a pourtant une limite, mais il faut passer par une astuce.
Il faut factoriser : $$ \begin{array}{llll} f (x) & = x^2 - x \\ & = x (x - 1) \\ \end{array} $$ \(f (x)\) est vu comme le produit des deux fonctions d'équations \((x)\) et \((x - 1)\) qui tendent toutes les deux vers \(+\infty\). Donc : $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = +\infty $$
La fonction définie par \(f (x) = \frac{2x + 1}{3 x + 5} \) présente une forme indéterminée en \(+\infty\) (\( \frac{+\infty}{+\infty}\)). Elle a pourtant une limite, mais il faut passer par une astuce.
La bonne intuition à avoir est que par rapport à de très grandes valeurs \(1\) et \(5\) sont négligeables, et alors \(\frac{2x}{3 x} = \frac{2}{3}\). Il faut tout de même le prouver en factorisant par \(n\) les numérateurs et dénominateurs: $$ \begin{array}{llll} f (x) & = \frac{2x + 1}{3 x + 5} \\ & = \frac{x (2 + \frac{1}{x})}{x (3 + \frac{5}{x})}\\ \end{array} $$ Or, on sait que \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0 \) et \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{5}{x} = 0 \). Donc en utilisant le théorème de somme et de quotient des limites : $$ \begin{array}{llll} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f (x) & = \frac{2x + \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x}}{3 x + \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{5}{x}} \\ & = \frac{2x + 0}{3 x + 0} \\ & = \frac{2x}{3 x} \\ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) & = \frac{2}{3} \\ \end{array} $$
IVComparaison de limites
1Minoration / Majoration (limites infinies)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I = ]1;+\infty[\) telles que :
- \(f (x) \geq g (x)\) pour tout \(x \geq A\).
- \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = +\infty\)
Le théorème est adaptable pour les cas où :
- \(g (x)\) tend vers \(- \infty\) \(f (x) \leq g (x)\)
- les limites sont en \(-\infty\), en posant \(I = ]-\infty;A[\) et pour tout \(x\lt A\)
On pose \(f (x) = x^2 + cos (x) + 1\).
Comme, \(cos (x) + 1 \geq 0\), on sait que \(f (x) \geq x^2\) pour tout \(x\).
D'après la propriété précédente, comme \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = +\infty\)
2"Théorème des gendarmes"
Soient \(f, g\) et \(h\) trois fonctions définies sur un intervalle \(I = ]1;+\infty[\) telles que :
- \(f (x) \leq g (x) \leq h (x)\) pour tout \(x\lt A\)
- \(f (x)\) et \(h (x)\) ont la même limite finie \(\mathcal{l}\).
Même remarque que pour le théorème précédent, on adapte à tout type de limite.
On pose \(f (x) = \frac{cos (x)}{x}\) définie sur \(]0;+\infty[\).
Comme, \(-1\leq cos (x) \leq 1\), on a l'encadrement \(\frac{-1}{x} \leq f (x)\leq \frac{1}{x}\) pour tout \(x \gt 0\).
D'après le théorème des gendarmes, comme \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0\) , alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f (x) = 0\)
VComposée de fonctions
Soient deux fonction \(f\) et \(g\). Soient \(a, b, c\) trois réels (ou des infinis) tels que : $$ \lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{a}} f (x)=\color{green}{b} \text{ et } \lim\limits_{x \rightarrow \color{green}{b}} g (x) = \color{blue}{c} $$ Alors : $$ \lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{a}} g ( f (x) ) = \color{blue}{c} $$
On souhaite étudier le comportement de la fonction définie par \(f (x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) en \(-\infty\). On remarque que :
- \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{-\infty}} x^2+1 = \color{green}{+\infty}\)
- et \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{green}{+\infty}} \frac{1}{x} = \color{blue}{0}\)
On souhaite étudier le comportement à l'infini de la fonction définie par \(f (x) = \sqrt{2 + \frac{1}{x}} \). On remarque que :
- \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{red}{+\infty}} 2 + \frac{1}{x} = \color{green}{2}\)
- et \(\lim\limits_{x \rightarrow \color{green}{2}} \sqrt{x} = \color{blue}{\sqrt{2}}\)